4- Operaciones con Números Enteros: multiplicación y división

Multiplicación

Recordamos que multiplicar es sumar números iguales. Ejemplo:
               a . b = a + a + a
          (factores)   (b veces)
                5 . 3 = 5 + 5 + 5
                           (3 veces)

Para completar todas las posibilidades que se dan en la multiplicación con números enteros observamos:

(+8) . (+2) = +16

(-8) . (-2) = +16

Si los números enteros tienen igual signo el resultado es positivo, es decir:

luego,

 (+8) . (-2) = -16

  (-8) . (+2) = -16

Si los números enteros tienen distinto signo, el resultado es negativo, es decir: 

 

Si un factor fuera cero, el resultado es igual a cero.

  a . 0 = 0

- 3 . 0 = 0





Propiedades de la multiplicación de los números enteros

• Interna: el resultado de multiplicar dos números enteros es otro número entero.
• Asociativa: el modo de agrupar los factores no varía el resultado.
• Conmutativa: el orden de los factores no varía el producto.
• Elemento neutro: el 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque todo número multiplicado por él da el mismo número.
• Distributiva: el producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de dicho número por cada uno de los sumandos.

Factor común

Según la propiedad distributiva 3 x + 3 y + 3 z = 3 (x + y + z)  

3 es factor que figura en todos los términos, por eso se llama factor común.

División

Como estamos trabajando en el conjunto de los Z, vamos a considerar solamente las divisiones exactas (resto = cero), es decir, aquellas en que el dividendo es múltiplo del divisor.

La división está definida como la operación inversa de la multiplicación. Ejemplo:  

              a : b = c <--------------------------------> a = b . c

dividendo : divisor = cociente

Observamos los siguientes ejemplos:

(+12) : (+4) = + 3 <--> (+12) = (+4) . (+3)

(-12) : (-4) = + 3 <--> (-12) = (-4) . (+3)

(+12) : (-4) = + 3 <--> (+12) = (-4) . (+3)

(-12) : (+4) = (-3) <--> (-12) = (+4) . (-3) 

La división de dos números enteros es igual al valor absoluto del cociente de los valores absolutos entre el dividendo y el divisor, y tiene de signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos.

Cuando el dividendo es cero, el cociente siempre es cero.

Ejemplo: 0 : 3 = 0

Cuando el divisor es cero, el cociente no existe.

Ejemplo: 3 : 0 = no existe. 

Propiedades de la división de números enteros

• Interna: el resultado de dividir dos números enteros no siempre es otro número entero.

Expresiones algebraicas

5 a + 7 b
3 m - 2 m

Las expresiones algebraicas son las que combinan números con letras a través de operaciones. en muchos casos no nos interesa saber el valor de la letra.

Para sumar o restar expresiones algebraicas es imprescindible agrupar términos semejantes, es decir, los que tiene la misma letra.

Ejemplos:

• 3 a + 5 a = 8 a
• 7 a + 3 b - 5 a - b = ( 7 a - 5 a ) + ( 3 b - b ) = 2 a + 2 b

Recursos didácticos:

• Multiplicaciones

5- Actividades de cierre

Para repasar...

• Las altitudes y los números enteros
• Ascensor
• Termómetro
• La recta numérica
• Suma de un entero
• Distintas operaciones
• Multiplicaciones
• Laberinto
• Desafío

3- Operaciones con Números Enteros: suma y resta

Cómo nos movemos en la recta numérica

Para efectuar operaciones con los números enteros debemos tener mucho cuidado con sus signos.

Para que entendamos bien las reglas de los signos de las operaciones vamos a aprender a caminar en la recta numérica.

Partiendo del origen, el cero, caminaremos tantas unidades como lo indique el número:

• Para la derecha si el número es positivo.
• Para la izquierda si el número es negativo.

Adición

1° CASO: adición de números del mismo signo:

• (+3) + (+1) = +4

• (-2) + (-3) = (-5)

Los ejemplos nos sugieren la siguiente regla:

La suma de dos números enteros del mismo signo es igual a la suma de sus valores absolutos conservando el signo.

 2° CASO: adición de números de distinto signo:

• (+4) + (-1) = +3

• (-5) + (+2) = -3

Los ejemplos nos sugieren la siguiente regla:

La suma de dos números enteros de distinto signo es igual a la resta de sus valores absolutos y el signo es el del número de mayor valor absoluto.

3° CASO: adición de números opuestos:

• (+3) + (-3) = 0

La suma de números opuestos es igual a cero, esto nos permite cancelarlos cuando aparecen en una suma.

Propiedades de la suma de los Números Enteros

• Interna: el resultado de sumar dos números enteros es otro número entero.
• Asociativa: el modo de agrupar los sumandos no varía el resultado. 
• Conmutativa: el orden de los sumandos no varía la suma.
• Elemento neutro: el 0 es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con él da el mismo número.
• Elemento opuesto: dos números son opuestos si al sumarlos obtenemos como resultado cero.

Sustracción

La diferencia entre dos números enteros se calcula sumando al primero (minuendo) el opuesto del segundo (sustraendo).

• (+6) - (+2) = (+6) + (-2) = 4
• (-7) - (-3) = (-7) + (+3) = -4

Suma algebraica 

La suma algebraica es una combinación de sumas y restas de números enteros. Cada número se llama término. Ejemplo:

12 – 5 + 3 – 1 =

(12 + 3) - (5 + 1) =

15 – 6 = 9

La suma algebraica se resuelve restando la suma de todos los términos positivos con la suma de todos los términos negativos.

Uso de paréntesis, corchetes y llaves

Cuando en un ejercicio aparecen ( ), [ ] y { } los suprimimos usando las siguientes reglas:

1° se suprimen ( )

2° se suprimen [ ]

3° se suprimen { }

La regla de los signos empleada es:

• Al suprimir un ( ), [ ] o { } precedido por un signo +, a lo términos que estaban dentro de él no se les cambian los signos.
• Al suprimir un ( ), [ ] o { } precedido por un signo -, a cada término que estaban dentro de él se les cambian los signos.

Ejemplo: 10 – [-8 + (-18+6)] =

Puede resolverse de dos maneras:

 

Propiedades de la resta de los Números Enteros

• Interna: el resultado de restar dos números enteros es otro número entero.
• Elemento neutro: el 0 es el elemento neutro de la resta porque todo número menos cero da el mismo número.

Recurso didáctico

• Escalera

2- Números Enteros

En el siguiente esquema se registran con números positivos las altitudes (sobre el nivel del mar) y con números negativos las profundidades (debajo del mar).

Los números indicados para representar cantidades positivas tales como: +1500 m, la altura de un avión, +2m, la altura del salto de un pez, son llamados números enteros positivos. Los números indicados para representar cantidades negativas como: -1m, -100m, -50m, -3500m que están por debajo del nivel del mar son llamados números enteros negativos.

El cero no es ni negativo ni positivo.

Al conjunto de los números enteros se los denomina z.

Los números negativos se utilizan para indicar deudas, temperaturas, profundidades (niveles inferiores a cero), para expresar años anteriores a la era cristiana, para indicar puntajes en juegos, etc.

De igual manera, se utilizan para poder resolver situaciones donde el minuendo es menor que el sustraendo.  Ejemplo: 9 – 15 = - 6

Representación de los Números Enteros

 Los números enteros se representan en la recta numérica mediante puntos, ubicando el cero; a la izquierda de él todos los números negativos y a la derecha del cero todos los números positivos.

Cada número entero está representado por un único punto en la recta de tal manera que los que se encuentran a la derecha del cero van adquiriendo mayor valor, mientras que los posicionados a la izquierda el valor va disminuyendo.

Módulo o valor absoluto

Observen la recta:

Los puntos que representan a los números -3 y +3 están a la misma distancia del origen, por este motivo decimos que estos números son opuestos.

Ejemplo: -9 opuesto de +9

                 -a opuesto de +a

                 -x opuesto de +x

La distancia entre el origen y el opuesto que representa al número se llama Módulo o valor absoluto y se indica de la siguiente manera:

                   

Comparación de los Números Enteros

Comparar dos números enteros a y b significa verificar que:

a = b  

a > b

a < b

Si observamos la recta numérica veremos que los números asociados a sus respectivos puntos están en orden creciente de izquierda a derecha. Es decir:

• Un número entero es menor que cualquier otro representado a su derecha.
• Un número entero es mayor que cualquier otro representado a su izquierda.

Propiedades del conjunto de los Números Enteros

• El conjunto Z no tiene ni primer ni último elemento. En efecto, todo número entero tiene antecesor y un siguiente.

• El conjunto Z es un conjunto bien ordenado. Podemos definir la relación de mayor, menor e igual.
• El conjunto Z es un conjunto discreto. Entre dos números enteros no existe otro número entero.

 

1- Repaso de los Números Naturales

Pensemos un rato...

Los números naturales son los que desde épocas muy antiguas emplearon los hombres para contar y constituyen una de las primeras creaciones humanas que se asocian al conocimiento matemático.

El conjunto de los números naturales es:
N = {1,2,3,4,5 …}
Si incluimos el cero:
N₀ = {0,1,2,3,4,5 …}

El conjunto de los números naturales tiene las siguientes propiedades:

• El conjunto N es un conjunto ordenado porque se puede determinar al anterior y el siguiente de un número y establecer relaciones como mayor, menor o igual.
• El conjunto N es infinito, porque siempre se puede hallar el siguiente de un número natural por grande que este sea, sumándole 1.
• El conjunto N tiene al número 1 como primer elemento.
• El conjunto N₀ tiene al número 0 como primer elemento.
• En el conjunto N, entre un número y su siguiente no hay ningún número natural.

Una forma de representar los números naturales es señalarlos como puntos en una recta numérica, ubicándolos ordenadamente. La distancia entre dos puntos consecutivos, es decir, entre un número cualquiera y su siguiente, debe ser siempre la misma.

 La recta numérica es la representación geométrica de los números.

El orden en la recta

Si representamos el conjunto de los números naturales en la recta numérica, esto significa que a cada número le corresponde un punto en la recta.

La recta numérica nos muestra entre dos números cuál es el mayor o el menor. Siempre para la derecha se encuentran los números mayores y para la izquierda los números menores.