4- Operaciones con Números Enteros: multiplicación y división

Multiplicación

Recordamos que multiplicar es sumar números iguales. Ejemplo:
               a . b = a + a + a
          (factores)   (b veces)
                5 . 3 = 5 + 5 + 5
                           (3 veces)

Para completar todas las posibilidades que se dan en la multiplicación con números enteros observamos:

(+8) . (+2) = +16

(-8) . (-2) = +16

Si los números enteros tienen igual signo el resultado es positivo, es decir:

luego,

 (+8) . (-2) = -16

  (-8) . (+2) = -16

Si los números enteros tienen distinto signo, el resultado es negativo, es decir: 

 

Si un factor fuera cero, el resultado es igual a cero.

  a . 0 = 0

- 3 . 0 = 0





Propiedades de la multiplicación de los números enteros

• Interna: el resultado de multiplicar dos números enteros es otro número entero.
• Asociativa: el modo de agrupar los factores no varía el resultado.
• Conmutativa: el orden de los factores no varía el producto.
• Elemento neutro: el 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque todo número multiplicado por él da el mismo número.
• Distributiva: el producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de dicho número por cada uno de los sumandos.

Factor común

Según la propiedad distributiva 3 x + 3 y + 3 z = 3 (x + y + z)  

3 es factor que figura en todos los términos, por eso se llama factor común.

División

Como estamos trabajando en el conjunto de los Z, vamos a considerar solamente las divisiones exactas (resto = cero), es decir, aquellas en que el dividendo es múltiplo del divisor.

La división está definida como la operación inversa de la multiplicación. Ejemplo:  

              a : b = c <--------------------------------> a = b . c

dividendo : divisor = cociente

Observamos los siguientes ejemplos:

(+12) : (+4) = + 3 <--> (+12) = (+4) . (+3)

(-12) : (-4) = + 3 <--> (-12) = (-4) . (+3)

(+12) : (-4) = + 3 <--> (+12) = (-4) . (+3)

(-12) : (+4) = (-3) <--> (-12) = (+4) . (-3) 

La división de dos números enteros es igual al valor absoluto del cociente de los valores absolutos entre el dividendo y el divisor, y tiene de signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos.

Cuando el dividendo es cero, el cociente siempre es cero.

Ejemplo: 0 : 3 = 0

Cuando el divisor es cero, el cociente no existe.

Ejemplo: 3 : 0 = no existe. 

Propiedades de la división de números enteros

• Interna: el resultado de dividir dos números enteros no siempre es otro número entero.

Expresiones algebraicas

5 a + 7 b
3 m - 2 m

Las expresiones algebraicas son las que combinan números con letras a través de operaciones. en muchos casos no nos interesa saber el valor de la letra.

Para sumar o restar expresiones algebraicas es imprescindible agrupar términos semejantes, es decir, los que tiene la misma letra.

Ejemplos:

• 3 a + 5 a = 8 a
• 7 a + 3 b - 5 a - b = ( 7 a - 5 a ) + ( 3 b - b ) = 2 a + 2 b

Recursos didácticos:

• Multiplicaciones